p进数：展开有理数，何必是实数

更像月亮:虽然月亮是夜空中最亮的，但它往往会盖过星星的光辉，但星星的存在也提醒我们，在这个宇宙中，还有更遥远的空间可以探索。

上帝创造了整数，其他的都是人类的作品。

—利奥波德·克罗内克

引入数字的动机

数字的地位是一样的。

数都包含有理数，而且是并列的。

，满足

加法和乘法的结合律

加法和乘法的交换律

加法和乘法都有单位元素 " >

)

乘法满足加法的分布规律。

">

。

开始 " >

，但反过来就不一定了实数解的存在对有理数解有帮助吗

是和):

两者都成立。

如果这个方程在这个区域有解呢如果是这样，似乎我们可以把有理数解看作所有这些域的解的交集

它是全局域。

上面的定理其实是关于部分和整体的对应关系听起来很奇怪，但是域变大了，却从整体变成了局部要解释这一点，我们需要先了解一些几何知识

类比环和多项式环

在点附近，你可以扩展

扩展成相似性

发展

，最后整体移动一个地方。计算如下

如果不是域，就不能这样扩展。

即使它出来了。

继续扩展这种展开非常类似于十进制表示，这也解释了它的名字但这纯粹是形式上的

为什么扩张也叫局部。

一部分。

。

为什么叫本地。

:

关闭用于加法和减法，

英寸

" >的最低理想

理想。

展开，分别对应两个环的闭合点如果你接受这个设定，你会发现部分的说法并没有错

的展开，也就是十进制的展开，是什么呢其实就是有理函数在无穷远处的洛朗展开

img

。

在劳伦特展开。即

。

定义

的子集上面两个扩展允许一些新的操作，然后通过取等价类来构造

允许哪些操作答案是走极限

走吧。但不是所有的序列都收敛，例如

，所以两个柯西列是等价的。

称为度量函数需要满足三个特性:

，

，

，也就是三角形法则，两边之和不小于第三边。

通过劳伦特展开，它作为子集嵌入到这些形式劳伦特级数域中。

完成

数字非常相似。

。

有一个解决办法。

数值解法答案是否定的，很多多项式都不具备这个结论这引起了数学家的好奇:哪些多项式具有相似的性质我们称这个方向为局部—整体原理直到今天，它所产生的新知识继续滋养着整个数论研究

和现实有关系吗。

的确，数论是一门远离现实世界的学科最近几年来，一些数论被应用于密码学可是，能够直接应用于物理学来描述现实世界并被大多数物理学家所接受的工作并不多

融入这个世界。

弦理论目前这方面的研究成果还处于玩具阶段不过，这并不影响我们的好奇心毕竟，我们仰望夜空只是因为星星很美

参考

加藤和哉，黑川真介，斋藤和行数论I—费马的梦想和范畴理论

Neal Koblitz，p—adic数，p—adic分析和Zeta函数。

。

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